〰️ Ganzrationale Funktionen

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Aufgabe 1: Polynomdivision und Nullstellen

Gegeben ist f(x) = −x³ − 2x² + 9x + 18.

x = −2 ist eine Nullstelle von f.

a) Berechne f(x) : (x + 2).
b) Gib alle Nullstellen von f an.
c) Wo schneidet der Graph die y-Achse? f(0) = ?
d) Verhalten für x → +∞?☐ f(x) → +∞ ☐ f(x) → −∞
e) Für welche x verläuft der Graph oberhalb der x-Achse?☐ −3 < x < −2 oder x > 3 ☐ x < −3 oder −2 < x < 3

Gegeben ist f(x) = x³ − 4x² + 4x.

a) Gib alle Nullstellen von f an.
b) Welche Nullstelle ist doppelt?
c) Wie verhält sich der Graph an der doppelten Nullstelle?☐ Er berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel). ☐ Er schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel).
d) Welche Symmetrie hat der Graph?☐ achsensymmetrisch zur y-Achse ☐ punktsymmetrisch zum Ursprung ☐ keine dieser Symmetrien
e) Steigung des Graphen an der Stelle x = 1? f'(1) = ?

a) −x² + 9
Horner-Schema mit x = −2: Koeffizienten −1 | −2 | 9 | 18 · Runter holen, mit −2 multiplizieren, addieren: −1 | 0 | 9 | 0 (Rest 0) · f(x) : (x + 2) = −x² + 9
b) −3; −2; 3
−x² + 9 = 0 · Lösungsformel: x = 3 oder x = −3 · Nullstellen: −3; −2; 3
c) 18
f(0) ist das absolute Glied: 18
d) f(x) → −∞
Der Summand mit der höchsten Potenz entscheidet: −x³ · Negativer Leitkoeffizient: x → +∞ ⇒ f(x) → −∞
e) x < −3 oder −2 < x < 3
Drei einfache Nullstellen: an jeder wechselt das Vorzeichen. · Ganz rechts ist f negativ (k < 0), dann abwechselnd.

a) 0; 2
x ausklammern: f(x) = x · (x² − 4x + 4) · Binomische Formel: x² − 4x + 4 = (x − 2)² · Nullstellen: 0 und 2
b) 2
Der Faktor (x − 2)² kommt zweimal vor.
c) Er berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel).
Gerade Vielfachheit: kein Vorzeichenwechsel, der Graph berührt die x-Achse (dort liegt ein Extrempunkt).
d) keine dieser Symmetrien
f enthält gerade und ungerade Potenzen von x. · Deshalb ist der Graph weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
e) −1
f'(x) = 3x² − 8x + 4 · f'(1) = −1