〰️ Ganzrationale Funktionen

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Aufgabe 1: Polynomdivision und Nullstellen

Gegeben ist f(x) = 2x³ − 2x² − 4x.

x = 2 ist eine Nullstelle von f.

a) Berechne f(x) : (x − 2).
b) Gib alle Nullstellen von f an.
c) Wo schneidet der Graph die y-Achse? f(0) = ?
d) Verhalten für x → +∞?☐ f(x) → +∞ ☐ f(x) → −∞
e) Für welche x verläuft der Graph oberhalb der x-Achse?☐ −1 < x < 0 oder x > 2 ☐ x < −1 oder 0 < x < 2

Gegeben ist f(x) = 2x³ − 8x² + 8x.

a) Gib alle Nullstellen von f an.
b) Welche Nullstelle ist doppelt?
c) Wie verhält sich der Graph an der doppelten Nullstelle?☐ Er berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel). ☐ Er schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel).
d) Welche Symmetrie hat der Graph?☐ achsensymmetrisch zur y-Achse ☐ punktsymmetrisch zum Ursprung ☐ keine dieser Symmetrien
e) Steigung des Graphen an der Stelle x = 1? f'(1) = ?

a) 2x² + 2x
Horner-Schema mit x = 2: Koeffizienten 2 | −2 | −4 | 0 · Runter holen, mit 2 multiplizieren, addieren: 2 | 2 | 0 | 0 (Rest 0) · f(x) : (x − 2) = 2x² + 2x
b) −1; 0; 2
2x² + 2x = 0 · Lösungsformel: x = −1 oder x = 0 · Nullstellen: −1; 0; 2
c) 0
f(0) ist das absolute Glied: 0
d) f(x) → +∞
Der Summand mit der höchsten Potenz entscheidet: 2x³ · Positiver Leitkoeffizient, ungerader Grad: x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
e) −1 < x < 0 oder x > 2
Drei einfache Nullstellen: an jeder wechselt das Vorzeichen. · Ganz rechts ist f positiv (k > 0), dann abwechselnd.

a) 0; 2
x ausklammern: f(x) = x · (2x² − 8x + 8) · Binomische Formel: 2x² − 8x + 8 = 2(x − 2)² · Nullstellen: 0 und 2
b) 2
Der Faktor (x − 2)² kommt zweimal vor.
c) Er berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel).
Gerade Vielfachheit: kein Vorzeichenwechsel, der Graph berührt die x-Achse (dort liegt ein Extrempunkt).
d) keine dieser Symmetrien
f enthält gerade und ungerade Potenzen von x. · Deshalb ist der Graph weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
e) −2
f'(x) = 6x² − 16x + 8 · f'(1) = −2