← All Math worksheets QR code for class
Klataza 🧮 Math

Unit 29 · Ganze Aufgaben 1 und 2

🪞 Symmetrie und Substitution

Name: ____________________Date: ____________
Scan to do this lesson online

Aufgabe 1: Biquadratische Gleichung

Gegeben ist f(x) = −x⁴ + 3x² + 4.

  1. a) Welche Symmetrie hat der Graph von f?☐ achsensymmetrisch zur y-Achse ☐ punktsymmetrisch zum Ursprung ☐ keine einfache Symmetrie
  2. b) Substituiere z = x² und löse die quadratische Gleichung: z = ?
  3. c) Gib alle Nullstellen von f an.
  4. d) Verhalten für x → ±∞?☐ f(x) → +∞ auf beiden Seiten ☐ f(x) → −∞ auf beiden Seiten ☐ links −∞, rechts +∞

Aufgabe 2: Punktsymmetrie und Vorzeichen

Gegeben ist f(x) = x³ − x.

  1. a) Welche Symmetrie hat der Graph?☐ achsensymmetrisch zur y-Achse ☐ punktsymmetrisch zum Ursprung ☐ keine einfache Symmetrie
  2. b) Nullstellen von f?
  3. c) Für welche x gilt f(x) > 0?☐ −1 < x < 0 oder x > 1 ☐ x < −1 oder 0 < x < 1
  4. d) Berechne f(2).
  5. e) Welchen Wert hat dann f(−2)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) achsensymmetrisch zur y-Achse
    Nur gerade Exponenten (4, 2, 0) ⇒ f(−x) = f(x).
  2. b) −1; 4
    z² − 3z − 4 = 0 · z = 4 oder z = −1
  3. c) −2; 2
    Rücksubstitution: x² = 4 ⇒ x = ±2 · x² = −1 hat keine Lösung.
  4. d) f(x) → −∞ auf beiden Seiten
    Gerader Grad 4, Leitkoeffizient −1: beide Enden gleich, nach unten.

Aufgabe 2

  1. a) punktsymmetrisch zum Ursprung
    Nur ungerade Exponenten (3, 1) ⇒ f(−x) = −f(x).
  2. b) −1; 0; 1
    x ausklammern: f(x) = 1x(x² − 1) · x = 0 oder x² = 1 ⇒ x = ±1
  3. c) −1 < x < 0 oder x > 1
    Drei einfache Nullstellen, Vorzeichenwechsel an jeder. · Für große x ist f positiv.
  4. d) 6
    f(2) = 1·8 − 1·2 = 6
  5. e) −6
    Punktsymmetrie: f(−x) = −f(x) · f(−2) = −6