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Unit 29 · Ganze Aufgaben 3 und 4

🪞 Symmetrie und Substitution

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Aufgabe 1: Biquadratische Gleichung

Gegeben ist f(x) = x⁴ − 17x² + 16.

  1. a) Welche Symmetrie hat der Graph von f?☐ achsensymmetrisch zur y-Achse ☐ punktsymmetrisch zum Ursprung ☐ keine einfache Symmetrie
  2. b) Substituiere z = x² und löse die quadratische Gleichung: z = ?
  3. c) Gib alle Nullstellen von f an.
  4. d) Verhalten für x → ±∞?☐ f(x) → +∞ auf beiden Seiten ☐ f(x) → −∞ auf beiden Seiten ☐ links −∞, rechts +∞

Aufgabe 2: Punktsymmetrie und Vorzeichen

Gegeben ist f(x) = 0,5x³ − 4,5x.

  1. a) Welche Symmetrie hat der Graph?☐ achsensymmetrisch zur y-Achse ☐ punktsymmetrisch zum Ursprung ☐ keine einfache Symmetrie
  2. b) Nullstellen von f?
  3. c) Für welche x gilt f(x) > 0?☐ −3 < x < 0 oder x > 3 ☐ x < −3 oder 0 < x < 3
  4. d) Berechne f(4).
  5. e) Welchen Wert hat dann f(−4)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) achsensymmetrisch zur y-Achse
    Nur gerade Exponenten (4, 2, 0) ⇒ f(−x) = f(x).
  2. b) 1; 16
    z² − 17z + 16 = 0 · z = 1 oder z = 16
  3. c) −4; −1; 1; 4
    Rücksubstitution: x² = 1 ⇒ x = ±1 · x² = 16 ⇒ x = ±4
  4. d) f(x) → +∞ auf beiden Seiten
    Gerader Grad 4, Leitkoeffizient 1: beide Enden gleich, nach oben.

Aufgabe 2

  1. a) punktsymmetrisch zum Ursprung
    Nur ungerade Exponenten (3, 1) ⇒ f(−x) = −f(x).
  2. b) −3; 0; 3
    x ausklammern: f(x) = 0,5x(x² − 9) · x = 0 oder x² = 9 ⇒ x = ±3
  3. c) −3 < x < 0 oder x > 3
    Drei einfache Nullstellen, Vorzeichenwechsel an jeder. · Für große x ist f positiv.
  4. d) 14
    f(4) = 0,5·64 − 4,5·4 = 14
  5. e) −14
    Punktsymmetrie: f(−x) = −f(x) · f(−4) = −14