🔍 Steckbriefaufgaben

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Aufgabe 1: Steckbrief: Funktion 3. Grades

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades schneidet die y-Achse bei y = 5, hat den Tiefpunkt E(−2 | 1) und an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a) Welchen Wert hat d?
b) Bestimme a, b und c.
c) Gib den Funktionsterm an.
d) Ist E wirklich ein Tiefpunkt?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Brückenbogen: Parabel durch drei Punkte

Ein Brückenbogen hat die Form einer Parabel f(x) = ax² + bx + c (x und y in m). Er geht durch die Punkte P(0 | 3,5), Q(3 | 8) und R(5 | 6).

a) Bestimme a, b und c.
b) Wie hoch ist der Bogen an seiner höchsten Stelle (m)?
c) Wie breit ist der Bogen auf Höhe des Bodens (y = 0) (m, 2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

a) 5
f(0) = d = 5
b) a = −1, b = −3, c = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c · I: f(−2) = 1: −8a + 4b − 2c = −4 · II: f'(−2) = 0: 12a − 4b + c = 0 · III: f'(0) = 0: c = 0 · II − III eliminiert c, dann in I einsetzen (Gauß-Verfahren). · a = −1, b = −3, c = 0
c) −x³ − 3x² + 5
f(x) = −x³ − 3x² + 5
d) Ja
f''(x) = −6x − 6 · f''(−2) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt

Aufgabe 2

a) a = −0,5, b = 3, c = 3,5
P: c = 3,5 · Q: 9a + 3b + c = 8 · R: 25a + 5b + c = 6 · c einsetzen, dann die beiden Gleichungen mit a und b lösen. · a = −0,5, b = 3, c = 3,5
b) 8
Scheitel bei x = −b/(2a) = 3 · f(3) = 8
c) 8
a(x − 3)² + 8 = 0 ⇒ (x − 3)² = 16 · x = 3 ± 4 · Breite: 2 · 4 = 8