🔍 Steckbriefaufgaben

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Aufgabe 1: Steckbrief mit Wendepunkt

Der Graph einer Funktion f dritten Grades geht durch den Ursprung und hat den Wendepunkt W(1 | −10). Die Wendetangente hat die Steigung −12.

Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a) Bestimme a, b, c und d.
b) Gleichung der Wendetangente y = mx + t: t = ?

Aufgabe 2: Steckbrief: Funktion 3. Grades

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades schneidet die y-Achse bei y = −1, hat den Tiefpunkt E(1 | −8) und an der Stelle x = 5 eine waagrechte Tangente.

Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a) Welchen Wert hat d?
b) Bestimme a, b und c.
c) Gib den Funktionsterm an.
d) Ist E wirklich ein Tiefpunkt?☐ Ja ☐ Nein

Lösungen

Aufgabe 1

a) a = 2, b = −6, c = −6, d = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2b · Ursprung: f(0) = 0 ⇒ d = 0 · f(1) = −10: a + b + c = −10 · f'(1) = −12: 3a + 2b + c = −12 · f''(1) = 0: 6a + 2b = 0 ⇒ b = −3a · a = 2, b = −6, c = −6, d = 0
b) 2
t = f(w) − m·w = −10 − (−12)·(1) = 2

Aufgabe 2

a) −1
f(0) = d = −1
b) a = −1, b = 9, c = −15
f'(x) = 3ax² + 2bx + c · I: f(1) = −8: a + b + c = −7 · II: f'(1) = 0: 3a + 2b + c = 0 · III: f'(5) = 0: 75a + 10b + c = 0 · II − III eliminiert c, dann in I einsetzen (Gauß-Verfahren). · a = −1, b = 9, c = −15
c) −x³ + 9x² − 15x − 1
f(x) = −x³ + 9x² − 15x − 1
d) Ja
f''(x) = −6x + 18 · f''(1) = 12 > 0 ⇒ Tiefpunkt