Klataza 🧮 Math
Unit 30 · Ganze Aufgaben 5 und 6
🔍 Steckbriefaufgaben
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Aufgabe 1: Brückenbogen: Parabel durch drei Punkte
Ein Brückenbogen hat die Form einer Parabel f(x) = ax² + bx + c (x und y in m). Er geht durch die Punkte P(0 | 7), Q(2 | 9) und R(3 | 8,5).
- a) Bestimme a, b und c.
- b) Wie hoch ist der Bogen an seiner höchsten Stelle (m)?
- c) Wie breit ist der Bogen auf Höhe des Bodens (y = 0) (m, 2 Dezimalen)?
Aufgabe 2: Steckbrief mit Wendepunkt
Der Graph einer Funktion f dritten Grades geht durch den Ursprung und hat den Wendepunkt W(1 | −1). Die Wendetangente hat die Steigung −3.
Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
- a) Bestimme a, b, c und d.
- b) Gleichung der Wendetangente y = mx + t: t = ?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) a = −0,5, b = 2, c = 7
P: c = 7 · Q: 4a + 2b + c = 9 · R: 9a + 3b + c = 8,5 · c einsetzen, dann die beiden Gleichungen mit a und b lösen. · a = −0,5, b = 2, c = 7 - b) 9
Scheitel bei x = −b/(2a) = 2 · f(2) = 9 - c) 8,49
a(x − 2)² + 9 = 0 ⇒ (x − 2)² = 18 · x = 2 ± 4,2426 · Breite: 2 · 4,2426 = 8,49
Aufgabe 2
- a) a = 2, b = −6, c = 3, d = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2b · Ursprung: f(0) = 0 ⇒ d = 0 · f(1) = −1: a + b + c = −1 · f'(1) = −3: 3a + 2b + c = −3 · f''(1) = 0: 6a + 2b = 0 ⇒ b = −3a · a = 2, b = −6, c = 3, d = 0 - b) 2
t = f(w) − m·w = −1 − (−3)·(1) = 2