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Klataza 🧮 Math

Unit 31 · Ganze Aufgaben 5 und 6

⛰️ Kurvendiskussion

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Aufgabe 1: Kurvendiskussion

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x + 3.

  1. a) Bilde die erste Ableitung.
  2. b) Berechne die Stellen mit waagrechter Tangente.
  3. c) Gib den Hochpunkt an.
  4. d) Gib den Tiefpunkt an.
  5. e) Gib den Wendepunkt an.
  6. f) Wo ist f streng monoton fallend?☐ ]−∞; −1] und [1; ∞[ ☐ [−1; 1]
  7. g) Steigung der Wendetangente?

Aufgabe 2: Änderungsrate: Wurf nach oben

Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe (in m) nach t Sekunden ist h(t) = −5t² + 14t.

  1. a) Mittlere Geschwindigkeit zwischen t = 1 und t = 2 (m/s)?
  2. b) Momentane Geschwindigkeit bei t = 2 (m/s)?
  3. c) Wann erreicht der Ball den höchsten Punkt (s)?
  4. d) Welche Höhe erreicht er maximal (m)?
  5. e) Tangente an den Graphen bei t = 2: y = mt + b

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 3x² − 3
    Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, Konstanten fallen weg · f'(x) = 3x² − 3
  2. b) −1; 1
    f'(x) = 0: 3x² − 3 = 0 · Durch 3 teilen: x² − 1 = 0 · x = −1 oder x = 1
  3. c) x = −1, y = 5
    f''(x) = 6x · f''(−1) = −6 < 0 ⇒ Hochpunkt · y = f(−1) = 5 · H(−1 | 5)
  4. d) x = 1, y = 1
    f''(1) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt · T(1 | 1)
  5. e) x = 0, y = 3
    f''(x) = 0: 6x = 0 ⇒ x = 0 · f(0) = 3 · W(0 | 3) – genau in der Mitte zwischen H und T
  6. f) [−1; 1]
    f' hat die Nullstellen −1 und 1. · f' ist eine nach oben geöffnete Parabel: zwischen den Nullstellen negativ ⇒ dort fällt f.
  7. g) −3
    m = f'(0) = −3

Aufgabe 2

  1. a) −1
    Differenzenquotient: (h(t₂) − h(t₁)) / (t₂ − t₁) · = (8 − 9) / (2 − 1) = −1
  2. b) −6
    h'(t) = −10t + 14 · h'(2) = −6
  3. c) 1,4
    h'(t) = 0: −10t + 14 = 0 · t = 1,4
  4. d) 9,8
    h(1,4) ≈ 9,8
  5. e) m = −6, b = 20
    m = h'(2) = −6 · b = h(2) − m·2 = 8 − −12 = 20