🌳 Baumdiagramm und Bayes

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Aufgabe 1: Medizinischer Test (Bayes)

1 % der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit (K). Ein Test erkennt Kranke mit 98 % Wahrscheinlichkeit (positiv), Gesunde werden mit 97 % Wahrscheinlichkeit richtig negativ getestet.

a) P(Test positiv)?
b) Wie wahrscheinlich ist man bei positivem Test wirklich krank? P₊(K)?
c) P₋(K̄): Wie wahrscheinlich ist man bei negativem Test gesund?
d) Von 10 000 Getesteten: Wie viele sind positiv getestet, aber gesund (erwartet)?

Aufgabe 2: Zwei Maschinen

Maschine A stellt 40 % der Teile her, Maschine B den Rest. Bei A sind 90 % der Teile einwandfrei (E), bei B 60 %.

a) P(E): Ein zufälliges Teil ist einwandfrei.
b) Ein Teil ist fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von A?
c) Sind „von A“ und „einwandfrei“ unabhängig?☐ Ja ☐ Nein

Lösungen

Aufgabe 1

a) 0,0395
Zwei Pfade enden bei „positiv“: K → + und K̄ → + · P(+) = 0,01·0,98 + 0,99·0,03 = 0,0395
b) 0,2481
Satz von Bayes: P₊(K) = P(K ∩ +) / P(+) · = 0,0098 / 0,0395 ≈ 0,2481
c) 0,9998
P(−) = 1 − 0,0395 = 0,9605 · P₋(K̄) = 0,99·0,97 / 0,9605 ≈ 0,9998
d) 297
10 000 · 0,99 · 0,03 = 297

Aufgabe 2

a) 0,72
P(E) = 0,4·0,9 + 0,6·0,6 = 0,72
b) 0,1429
P(Ē) = 1 − 0,72 = 0,28 · P_Ē(A) = 0,4·0,1 / 0,28 ≈ 0,1429
c) Nein
P_A(E) = 0,9, P_B(E) = 0,6 · Verschieden ⇒ abhängig.