🌳 Baumdiagramm und Bayes

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Aufgabe 1: Medizinischer Test (Bayes)

10 % der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit (K). Ein Test erkennt Kranke mit 99 % Wahrscheinlichkeit (positiv), Gesunde werden mit 97 % Wahrscheinlichkeit richtig negativ getestet.

a) P(Test positiv)?
b) Wie wahrscheinlich ist man bei positivem Test wirklich krank? P₊(K)?
c) P₋(K̄): Wie wahrscheinlich ist man bei negativem Test gesund?
d) Von 10 000 Getesteten: Wie viele sind positiv getestet, aber gesund (erwartet)?

Aufgabe 2: Zwei Maschinen

Maschine A stellt 60 % der Teile her, Maschine B den Rest. Bei A sind 90 % der Teile einwandfrei (E), bei B 50 %.

a) P(E): Ein zufälliges Teil ist einwandfrei.
b) Ein Teil ist fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von A?
c) Sind „von A“ und „einwandfrei“ unabhängig?☐ Ja ☐ Nein

Lösungen

Aufgabe 1

a) 0,126
Zwei Pfade enden bei „positiv“: K → + und K̄ → + · P(+) = 0,1·0,99 + 0,9·0,03 = 0,126
b) 0,7857
Satz von Bayes: P₊(K) = P(K ∩ +) / P(+) · = 0,099 / 0,126 ≈ 0,7857
c) 0,9989
P(−) = 1 − 0,126 = 0,874 · P₋(K̄) = 0,9·0,97 / 0,874 ≈ 0,9989
d) 270
10 000 · 0,9 · 0,03 = 270

Aufgabe 2

a) 0,74
P(E) = 0,6·0,9 + 0,4·0,5 = 0,74
b) 0,2308
P(Ē) = 1 − 0,74 = 0,26 · P_Ē(A) = 0,6·0,1 / 0,26 ≈ 0,2308
c) Nein
P_A(E) = 0,9, P_B(E) = 0,5 · Verschieden ⇒ abhängig.