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Unit 35 · Ganze Aufgaben 1 und 2

➡️ Vektoren und Gauß-Verfahren

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(−2 | 0 | −2), B(−3 | 0 | −2) und C(−5 | 4 | −4).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (−1 | −1 | −2), b = (1 | −2 | −2), c = (0 | −1 | −1), v = (−4 | 1 | −1)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig?☐ Ja ☐ Nein
  3. c) Und a, b und w = (0 | 3 | 4)?☐ linear unabhängig ☐ linear abhängig

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = −1, x₂ = 0, x₃ = 0
    AB = B − A (Spitze minus Fuß) · AB = (−1 | 0 | 0)
  2. b) 1
    |AB| = √(−1² + 0² + 0²) = √1 ≈ 1
  3. c) x₁ = −3,5, x₂ = 2, x₃ = −3
    M = ½(A + C) · M(−3,5 | 2 | −3)
  4. d) x₁ = −4, x₂ = 4, x₃ = −4
    AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B · D(−4 | 4 | −4)
  5. e) Nein
    AB · BC = 2 · Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe 2

  1. a) r = 2, s = −2, t = 1
    Komponentenweise ergibt sich ein LGS: · II − I: −3s − t = 5 · III − 2·I: −4s − t = 7 · 3·III − 4·II: t = 1 · Rückwärts einsetzen: t = 1, s = −2, r = 2
  2. b) Ja
    Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar). · Determinante ≠ 0: 1
  3. c) linear abhängig
    w = −1·a + −1·b · w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.