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Unit 35 · Ganze Aufgaben 3 und 4

➡️ Vektoren und Gauß-Verfahren

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(4 | 3 | 3), B(6 | 2 | 0) und C(8 | 1 | −2).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (−2 | 0 | 2), b = (−2 | 1 | −1), c = (−2 | −1 | 1), v = (0 | 0 | −4)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig?☐ Ja ☐ Nein
  3. c) Und a, b und w = (2 | 1 | −5)?☐ linear unabhängig ☐ linear abhängig

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = 2, x₂ = −1, x₃ = −3
    AB = B − A (Spitze minus Fuß) · AB = (2 | −1 | −3)
  2. b) 3,74
    |AB| = √(2² + −1² + −3²) = √14 ≈ 3,74
  3. c) x₁ = 6, x₂ = 2, x₃ = 0,5
    M = ½(A + C) · M(6 | 2 | 0,5)
  4. d) x₁ = 6, x₂ = 2, x₃ = 1
    AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B · D(6 | 2 | 1)
  5. e) Nein
    AB · BC = 11 · Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe 2

  1. a) r = −2, s = 1, t = 1
    Komponentenweise ergibt sich ein LGS: · III + I: −3s − t = −4 · III + 3·II: −4t = −4 · Rückwärts einsetzen: t = 1, s = 1, r = −2
  2. b) Ja
    Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar). · Determinante ≠ 0: 8
  3. c) linear abhängig
    w = −2·a + 1·b · w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.