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Unit 35 · Ganze Aufgaben 5 und 6

➡️ Vektoren und Gauß-Verfahren

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(2 | 1 | 4), B(3 | 1 | 5) und C(2 | 4 | 3).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (−2 | 0 | 0), b = (1 | 2 | −1), c = (0 | 1 | 1), v = (−5 | −7 | 2)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig?☐ Ja ☐ Nein
  3. c) Und a, b und w = (2 | −4 | 2)?☐ linear unabhängig ☐ linear abhängig

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 1
    AB = B − A (Spitze minus Fuß) · AB = (1 | 0 | 1)
  2. b) 1,41
    |AB| = √(1² + 0² + 1²) = √2 ≈ 1,41
  3. c) x₁ = 2, x₂ = 2,5, x₃ = 3,5
    M = ½(A + C) · M(2 | 2,5 | 3,5)
  4. d) x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 2
    AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B · D(1 | 4 | 2)
  5. e) Nein
    AB · BC = −3 · Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe 2

  1. a) r = 1, s = −3, t = −1
    Komponentenweise ergibt sich ein LGS: · 2·III + II: 3t = −3 · Rückwärts einsetzen: t = −1, s = −3, r = 1
  2. b) Ja
    Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar). · Determinante ≠ 0: −6
  3. c) linear abhängig
    w = −2·a + −2·b · w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.