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Unit 36 · Ganze Aufgaben 1 und 2

✖️ Skalar- und Vektorprodukt

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Aufgabe 1: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(3 | 0 | 3), B(0 | 1 | 5) und C(0 | 0 | 5).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(0 | −1 | 0), B(−3 | −2 | 2) und C(−1 | 0 | −2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 13
    AB = (−3 | 1 | 2), AC = (−3 | 0 | 2) · AB · AC = −3·−3 + 1·0 + 2·2 = 13
  2. b) 15,5
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 13 / (3,742·3,606) · α ≈ 15,5°
  3. c) x₁ = 2, x₂ = 0, x₃ = 3
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (2 | 0 | 3)
  4. d) 1,8
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √13 ≈ 1,8
  5. e) 1,67
    Skalarprodukt = 0: −3k + 1 + 4 = 0 · k = 1,67

Aufgabe 2

  1. a) −2
    AB = (−3 | −1 | 2), AC = (−1 | 1 | −2) · AB · AC = −3·−1 + −1·1 + 2·−2 = −2
  2. b) 102,6
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = −2 / (3,742·2,449) · α ≈ 102,6°
  3. c) x₁ = 0, x₂ = −8, x₃ = −4
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (0 | −8 | −4)
  4. d) 4,47
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √80 ≈ 4,47
  5. e) 1
    Skalarprodukt = 0: −3k + −1 + 4 = 0 · k = 1