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Unit 36 · Ganze Aufgaben 3 und 4

✖️ Skalar- und Vektorprodukt

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Aufgabe 1: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2 | 1 | −2), B(2 | −2 | −2) und C(−5 | 2 | −3).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2 | −2 | 2), B(2 | 1 | 0) und C(−2 | −3 | 1).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −15
    AB = (4 | −3 | 0), AC = (−3 | 1 | −1) · AB · AC = 4·−3 + −3·1 + 0·−1 = −15
  2. b) 154,8
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = −15 / (5·3,317) · α ≈ 154,8°
  3. c) x₁ = 3, x₂ = 4, x₃ = −5
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (3 | 4 | −5)
  4. d) 3,54
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √50 ≈ 3,54
  5. e) 0,75
    Skalarprodukt = 0: 4k + −3 + 0 = 0 · k = 0,75

Aufgabe 2

  1. a) −1
    AB = (4 | 3 | −2), AC = (0 | −1 | −1) · AB · AC = 4·0 + 3·−1 + −2·−1 = −1
  2. b) 97,5
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = −1 / (5,385·1,414) · α ≈ 97,5°
  3. c) x₁ = −5, x₂ = 4, x₃ = −4
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (−5 | 4 | −4)
  4. d) 3,77
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √57 ≈ 3,77
  5. e) 0,25
    Skalarprodukt = 0: 4k + 3 + −4 = 0 · k = 0,25