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Unit 36 · Ganze Aufgaben 5 und 6

✖️ Skalar- und Vektorprodukt

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Aufgabe 1: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2 | −1 | −2), B(−4 | 0 | 1) und C(−2 | −2 | −5).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2 | 1 | −2), B(2 | −1 | −3) und C(−4 | 2 | −2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −10
    AB = (−2 | 1 | 3), AC = (0 | −1 | −3) · AB · AC = −2·0 + 1·−1 + 3·−3 = −10
  2. b) 147,7
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = −10 / (3,742·3,162) · α ≈ 147,7°
  3. c) x₁ = 0, x₂ = −6, x₃ = 2
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (0 | −6 | 2)
  4. d) 3,16
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √40 ≈ 3,16
  5. e) 3,5
    Skalarprodukt = 0: −2k + 1 + 6 = 0 · k = 3,5

Aufgabe 2

  1. a) −10
    AB = (4 | −2 | −1), AC = (−2 | 1 | 0) · AB · AC = 4·−2 + −2·1 + −1·0 = −10
  2. b) 167,4
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = −10 / (4,583·2,236) · α ≈ 167,4°
  3. c) x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 0
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (1 | 2 | 0)
  4. d) 1,12
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √5 ≈ 1,12
  5. e) 1
    Skalarprodukt = 0: 4k + −2 + −2 = 0 · k = 1