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Klataza 🧮 Math

Unit 53 · Ganze Aufgaben 1 und 2

📊 Extrema und Flächen

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Aufgabe 1: Absolute Extrema auf einem Intervall

Gegeben ist f(x) = x³ − 9x² + 15x + 1 mit x ∈ [−1; 6].

  1. a) Stellen mit waagrechter Tangente?
  2. b) Funktionswerte am Rand: f(a) und f(b)?
  3. c) Absolutes Maximum von f auf dem Intervall (Funktionswert)?
  4. d) Absolutes Minimum (Funktionswert)?

Aufgabe 2: Fläche zwischen Graph und x-Achse

Gegeben ist f(x) = −0,5x² + 1,5x.

  1. a) Nullstellen von f?
  2. b) Gib eine Stammfunktion F an.
  3. c) Inhalt der Fläche zwischen Graph und x-Achse (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 1; 5
    f'(x) = 3x² − 18x + 15 = 0 · x = 1 oder x = 5
  2. b) f(−1) = −24, f(6) = −17
    f(−1) = −24 · f(6) = −17
  3. c) 8
    Kandidaten: f(−1) = −24, f(1) = 8, f(5) = −24, f(6) = −17 · Größter Wert: 8 bei x = 1
  4. d) −24
    Kleinster Wert der Kandidaten: −24 bei x = −1

Aufgabe 2

  1. a) 0; 3
    x ausklammern: −0,5x(x − 3) = 0 · x = 0 oder x = 3
  2. b) −0,1667x³ + 0,75x²
    (xⁿ) → xⁿ⁺¹/(n + 1) · F(x) = −0,167x³ + 0,75x² (+ C)
  3. c) 2,25
    A = |F(3) − F(0)| = |2,25 − 0| ≈ 2,25