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Klataza 🧮 Math

Unit 53 · Ganze Aufgaben 5 und 6

📊 Extrema und Flächen

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Aufgabe 1: Absolute Extrema auf einem Intervall

Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x mit x ∈ [0; 5].

  1. a) Stellen mit waagrechter Tangente?
  2. b) Funktionswerte am Rand: f(a) und f(b)?
  3. c) Absolutes Maximum von f auf dem Intervall (Funktionswert)?
  4. d) Absolutes Minimum (Funktionswert)?

Aufgabe 2: Fläche zwischen Graph und x-Achse

Gegeben ist f(x) = −2x² + 10x.

  1. a) Nullstellen von f?
  2. b) Gib eine Stammfunktion F an.
  3. c) Inhalt der Fläche zwischen Graph und x-Achse (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 1; 3
    f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 0 · x = 1 oder x = 3
  2. b) f(0) = 0, f(5) = 20
    f(0) = 0 · f(5) = 20
  3. c) 20
    Kandidaten: f(0) = 0, f(1) = 4, f(3) = 0, f(5) = 20 · Größter Wert: 20 bei x = 5
  4. d) 0
    Kleinster Wert der Kandidaten: 0 bei x = 0

Aufgabe 2

  1. a) 0; 5
    x ausklammern: −2x(x − 5) = 0 · x = 0 oder x = 5
  2. b) −0,6667x³ + 5x²
    (xⁿ) → xⁿ⁺¹/(n + 1) · F(x) = −0,667x³ + 5x² (+ C)
  3. c) 41,67
    A = |F(5) − F(0)| = |41,667 − 0| ≈ 41,67