📦 Optimierung

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Aufgabe 1: Offene Schachtel

Aus einem rechteckigen Karton (24 cm × 9 cm) wird eine oben offene Schachtel gefaltet: An den Ecken werden Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten.

a) Volumen V(x) als Polynom?
b) Sinnvoller Definitionsbereich?☐ 0 < x < 4,5 ☐ 0 < x < 12 ☐ 0 < x < 9
c) Für welches x wird das Volumen maximal (cm)?
d) Maximales Volumen (cm³)?

Aufgabe 2: Rechteck unter einer Parabel

Unter dem Graphen von f(x) = −x² + 27 liegt ein Rechteck mit zwei Ecken auf der x-Achse und den Ecken P(x | f(x)) und Q(−x | f(x)) auf dem Graphen (x > 0).

a) Flächeninhalt A(x) des Rechtecks?
b) Für welches x ist A maximal?
c) Maximaler Flächeninhalt?

Lösungen

Aufgabe 1

a) 4x³ − 66x² + 216x
V(x) = x · (24 − 2x) · (9 − 2x) · = 4x³ − 66x² + 216x
b) 0 < x < 4,5
Die kürzere Seite 9 − 2x muss positiv bleiben: x < 4,5.
c) 2
V'(x) = 12x² − 132x + 216 = 0 · Lösungsformel: x = 2 (die zweite Lösung liegt außerhalb des Definitionsbereichs) · V''(2) < 0 ⇒ Maximum
d) 200
V(2) = 2 · 20 · 5 = 200

Aufgabe 2

a) −2x³ + 54x
Breite 2x, Höhe f(x): A(x) = 2x · (−x² + 27) · = −2x³ + 54x
b) 3
A'(x) = −6x² + 54 = 0 · x² = 9 ⇒ x = 3
c) 108
A(3) = 108