📦 Optimierung

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Aufgabe 1: Gewinnmaximierung

Die Kosten für x Mengeneinheiten sind K(x) = x³ − 9x² + 34x + 12 (in €). Jede Einheit wird für 10 € verkauft.

a) Gewinnfunktion G(x) = E(x) − K(x)?
b) Bei welcher Menge ist der Gewinn maximal?
c) Maximaler Gewinn (€)?
d) Wie hoch sind die Fixkosten (€)?

Aufgabe 2: Offene Schachtel

Aus einem rechteckigen Karton (48 cm × 18 cm) wird eine oben offene Schachtel gefaltet: An den Ecken werden Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten.

a) Volumen V(x) als Polynom?
b) Sinnvoller Definitionsbereich?☐ 0 < x < 9 ☐ 0 < x < 24 ☐ 0 < x < 18
c) Für welches x wird das Volumen maximal (cm)?
d) Maximales Volumen (cm³)?

Lösungen

Aufgabe 1

a) −x³ + 9x² − 24x − 12
E(x) = 10x · G(x) = 10x − (x³ − 9x² + 34x + 12) = −x³ + 9x² − 24x − 12
b) 4
G'(x) = −3x² + 18x − 24 = 0 · x = 4 (G''(4) = −6 < 0)
c) −28
G(4) = −28
d) 12
K(0) = 12

Aufgabe 2

a) 4x³ − 132x² + 864x
V(x) = x · (48 − 2x) · (18 − 2x) · = 4x³ − 132x² + 864x
b) 0 < x < 9
Die kürzere Seite 18 − 2x muss positiv bleiben: x < 9.
c) 4
V'(x) = 12x² − 264x + 864 = 0 · Lösungsformel: x = 4 (die zweite Lösung liegt außerhalb des Definitionsbereichs) · V''(4) < 0 ⇒ Maximum
d) 1600
V(4) = 4 · 40 · 10 = 1600