📦 Optimierung

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Aufgabe 1: Rechteck unter einer Parabel

Unter dem Graphen von f(x) = −x² + 3 liegt ein Rechteck mit zwei Ecken auf der x-Achse und den Ecken P(x | f(x)) und Q(−x | f(x)) auf dem Graphen (x > 0).

a) Flächeninhalt A(x) des Rechtecks?
b) Für welches x ist A maximal?
c) Maximaler Flächeninhalt?

Aufgabe 2: Gewinnmaximierung

Die Kosten für x Mengeneinheiten sind K(x) = x³ − 9x² + 31x + 15 (in €). Jede Einheit wird für 7 € verkauft.

a) Gewinnfunktion G(x) = E(x) − K(x)?
b) Bei welcher Menge ist der Gewinn maximal?
c) Maximaler Gewinn (€)?
d) Wie hoch sind die Fixkosten (€)?

Lösungen

Aufgabe 1

a) −2x³ + 6x
Breite 2x, Höhe f(x): A(x) = 2x · (−x² + 3) · = −2x³ + 6x
b) 1
A'(x) = −6x² + 6 = 0 · x² = 1 ⇒ x = 1
c) 4
A(1) = 4

Aufgabe 2

a) −x³ + 9x² − 24x − 15
E(x) = 7x · G(x) = 7x − (x³ − 9x² + 31x + 15) = −x³ + 9x² − 24x − 15
b) 4
G'(x) = −3x² + 18x − 24 = 0 · x = 4 (G''(4) = −6 < 0)
c) −31
G(4) = −31
d) 15
K(0) = 15