← All Math worksheets QR code for class
Klataza 🧮 Math

Unit 55 · Ganze Aufgaben 1 und 2

🦠 Exponentialfunktionen

Name: ____________________Date: ____________
Scan to do this lesson online

Aufgabe 1: Abkühlung

Ein Getränk kühlt ab. Seine Temperatur in °C nach x Minuten ist T(x) = 20 + 50 · e−0,05x.

  1. a) Anfangstemperatur T(0)?
  2. b) Temperatur nach 10 Minuten (1 Dezimale)?
  3. c) Nach wie vielen Minuten ist das Getränk auf 50 °C abgekühlt (2 Dezimalen)?
  4. d) Momentane Änderungsrate zu Beginn T'(0) (°C pro Minute)?
  5. e) Welcher Temperatur nähert sich das Getränk langfristig?

Aufgabe 2: Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell: N(x) = N₀ · ekx, x in Stunden. Zu Beginn sind es 200, nach 2 Stunden 270 Bakterien.

  1. a) Bestimme k (4 Dezimalen).
  2. b) Wie viele Bakterien sind es nach 5 Stunden (ganze Zahl)?
  3. c) Verdopplungszeit (Stunden, 2 Dezimalen)?
  4. d) Wachstumsgeschwindigkeit N'(2) (Bakterien pro Stunde)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 70
    T(0) = 20 + 50 · e⁰ = 70
  2. b) 50,3
    T(10) = 20 + 50 · e−0,5 ≈ 50,3
  3. c) 10,22
    20 + 50e−0,05x = 50 ⇒ e−0,05x = 0,6 · x = ln(0,6) / (−0,05) ≈ 10,22
  4. d) −2,5
    T'(x) = −0,05 · 50 · e−0,05x · T'(0) = −2,5
  5. e) 20
    Für x → ∞ geht e−kx → 0 ⇒ T → 20 (waagrechte Asymptote y = 20).

Aufgabe 2

  1. a) 0,1501
    200 · e2k = 270 ⇒ e2k = 1,35 · k = ln(1,35) / 2 ≈ 0,1501
  2. b) 423,5107
    N(5) = 200 · e0,1501·5 ≈ 424
  3. c) 4,62
    ekx = 2 ⇒ x = ln 2 / k · = 4,62
  4. d) 40,5141
    N'(x) = k · N(x) ⇒ N'(2) = 0,1501 · 270 ≈ 40,5