Klataza 🧮 Math
Unit 55 · Ganze Aufgaben 3 und 4
🦠 Exponentialfunktionen
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Aufgabe 1: Abkühlung
Ein Getränk kühlt ab. Seine Temperatur in °C nach x Minuten ist T(x) = 20 + 60 · e−0,05x.
- a) Anfangstemperatur T(0)?
- b) Temperatur nach 10 Minuten (1 Dezimale)?
- c) Nach wie vielen Minuten ist das Getränk auf 50 °C abgekühlt (2 Dezimalen)?
- d) Momentane Änderungsrate zu Beginn T'(0) (°C pro Minute)?
- e) Welcher Temperatur nähert sich das Getränk langfristig?
Aufgabe 2: Bakterienwachstum
Eine Bakterienkultur wächst exponentiell: N(x) = N₀ · ekx, x in Stunden. Zu Beginn sind es 500, nach 4 Stunden 911 Bakterien.
- a) Bestimme k (4 Dezimalen).
- b) Wie viele Bakterien sind es nach 9 Stunden (ganze Zahl)?
- c) Verdopplungszeit (Stunden, 2 Dezimalen)?
- d) Wachstumsgeschwindigkeit N'(4) (Bakterien pro Stunde)?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) 80
T(0) = 20 + 60 · e⁰ = 80 - b) 56,4
T(10) = 20 + 60 · e−0,5 ≈ 56,4 - c) 13,86
20 + 60e−0,05x = 50 ⇒ e−0,05x = 0,5 · x = ln(0,5) / (−0,05) ≈ 13,86 - d) −3
T'(x) = −0,05 · 60 · e−0,05x · T'(0) = −3 - e) 20
Für x → ∞ geht e−kx → 0 ⇒ T → 20 (waagrechte Asymptote y = 20).
Aufgabe 2
- a) 0,15
500 · e4k = 911 ⇒ e4k = 1,822 · k = ln(1,822) / 4 ≈ 0,15 - b) 1928,4298
N(9) = 500 · e0,15·9 ≈ 1928 - c) 4,62
ekx = 2 ⇒ x = ln 2 / k · = 4,62 - d) 136,6352
N'(x) = k · N(x) ⇒ N'(4) = 0,15 · 911 ≈ 136,6