Klataza 🧮 Math
Unit 55 · Ganze Aufgaben 5 und 6
🦠 Exponentialfunktionen
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Aufgabe 1: Abkühlung
Ein Getränk kühlt ab. Seine Temperatur in °C nach x Minuten ist T(x) = 20 + 70 · e−0,1x.
- a) Anfangstemperatur T(0)?
- b) Temperatur nach 5 Minuten (1 Dezimale)?
- c) Nach wie vielen Minuten ist das Getränk auf 50 °C abgekühlt (2 Dezimalen)?
- d) Momentane Änderungsrate zu Beginn T'(0) (°C pro Minute)?
- e) Welcher Temperatur nähert sich das Getränk langfristig?
Aufgabe 2: Bakterienwachstum
Eine Bakterienkultur wächst exponentiell: N(x) = N₀ · ekx, x in Stunden. Zu Beginn sind es 200, nach 4 Stunden 664 Bakterien.
- a) Bestimme k (4 Dezimalen).
- b) Wie viele Bakterien sind es nach 9 Stunden (ganze Zahl)?
- c) Verdopplungszeit (Stunden, 2 Dezimalen)?
- d) Wachstumsgeschwindigkeit N'(4) (Bakterien pro Stunde)?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) 90
T(0) = 20 + 70 · e⁰ = 90 - b) 62,5
T(5) = 20 + 70 · e−0,5 ≈ 62,5 - c) 8,47
20 + 70e−0,1x = 50 ⇒ e−0,1x = 0,4286 · x = ln(0,4286) / (−0,1) ≈ 8,47 - d) −7
T'(x) = −0,1 · 70 · e−0,1x · T'(0) = −7 - e) 20
Für x → ∞ geht e−kx → 0 ⇒ T → 20 (waagrechte Asymptote y = 20).
Aufgabe 2
- a) 0,3
200 · e4k = 664 ⇒ e4k = 3,32 · k = ln(3,32) / 4 ≈ 0,3 - b) 2975,7105
N(9) = 200 · e0,3·9 ≈ 2976 - c) 2,31
ekx = 2 ⇒ x = ln 2 / k · = 2,31 - d) 199,1942
N'(x) = k · N(x) ⇒ N'(4) = 0,3 · 664 ≈ 199,2