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Klataza 🧮 Math

Unit 56 · Ganze Aufgaben 3 und 4

ℯ f(x) · e-Funktion

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Aufgabe 1: Kurvendiskussion mit e-Funktion

Gegeben ist f(x) = (x + 2) · eˣ.

  1. a) Nullstelle von f?
  2. b) Erste Ableitung (Produktregel)?
  3. c) Extrempunkt (Tiefpunkt) T?
  4. d) Wendestelle?
  5. e) Verhalten für x → −∞?☐ f(x) → 0 (Asymptote y = 0) ☐ f(x) → −∞ ☐ f(x) → +∞

Aufgabe 2: Medikament im Blut

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (mg/l) x Stunden nach der Einnahme ist c(x) = 20x · e−0,25x.

  1. a) Erste Ableitung c'(x)?
  2. b) Wann ist die Konzentration am höchsten (Stunden)?
  3. c) Höchste Konzentration (mg/l, 2 Dezimalen)?
  4. d) Konzentration nach 10 Stunden (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −2
    eˣ ist nie 0 ⇒ nur der Faktor (x − a) kann 0 werden. · x = −2
  2. b) (x + 3)·eˣ
    (u·v)' = u'·v + u·v' mit u = x − a, v = eˣ · f'(x) = 1·eˣ + (x + 2)·eˣ = (x + 3)·eˣ
  3. c) x = −3, y = −0,05
    f'(x) = 0 ⇔ x = −3 · f(−3) = −e−3 ≈ −0,05
  4. d) −4
    f''(x) = (x + 4)·eˣ = 0 · x = −4
  5. e) f(x) → 0 (Asymptote y = 0)
    eˣ geht schneller gegen 0, als (x − a) gegen −∞ geht ⇒ f(x) → 0 (von unten).

Aufgabe 2

  1. a) 20·e−0,25x·(1 − 0,25x)
    Produktregel: c'(x) = 20·e−0,25x + 20x·(−0,25)·e−0,25x · = 20·e−0,25x·(1 − 0,25x)
  2. b) 4
    1 − 0,25x = 0 ⇒ x = 4
  3. c) 29,43
    c(4) = 20·4·e−1 ≈ 29,43
  4. d) 16,42
    c(10) = 200 · e−2,5 ≈ 16,42