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Aufgabe 1: Glücksrad: faires Spiel?

Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder: 1 Feld(er) „Gold“, 2 „Silber“, 5 „Niete“. Der Einsatz beträgt 2 €. Gold zahlt 10 €, Silber 2 € aus.

X = Gewinn (Auszahlung − Einsatz).

Ergebnis	Gold	Silber	Niete
x	8	0	−2
P(X = x)	1/8	2/8	5/8

a) Erwartungswert E(X) (€, 2 Dezimalen)?
b) Ist das Spiel fair?☐ Ja, E(X) = 0 ☐ Nein, günstig für den Spieler (E(X) > 0) ☐ Nein, günstig für den Betreiber (E(X) < 0)
c) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair (€, 2 Dezimalen)?
d) Standardabweichung σ von X (2 Dezimalen)?

Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder: 1 Feld(er) „Gold“, 4 „Silber“, 5 „Niete“. Der Einsatz beträgt 1 €. Gold zahlt 6 €, Silber 3 € aus.

X = Gewinn (Auszahlung − Einsatz).

Ergebnis	Gold	Silber	Niete
x	5	2	−1
P(X = x)	1/10	4/10	5/10

a) Erwartungswert E(X) (€, 2 Dezimalen)?
b) Ist das Spiel fair?☐ Ja, E(X) = 0 ☐ Nein, günstig für den Spieler (E(X) > 0) ☐ Nein, günstig für den Betreiber (E(X) < 0)
c) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair (€, 2 Dezimalen)?
d) Standardabweichung σ von X (2 Dezimalen)?

a) −0,25
E(X) = 8·1/8 + 0·2/8 + −2·5/8 ≈ −0,25
b) Nein, günstig für den Betreiber (E(X) < 0)
E(X) = −0,25
c) 1,75
Fair: Einsatz = erwartete Auszahlung · 10·1/8 + 2·2/8 + 0·5/8 ≈ 1,75 €
d) 3,23
Var(X) = Σ (x − E)² · P = 10,438 · σ = √Var ≈ 3,23

a) 0,8
E(X) = 5·1/10 + 2·4/10 + −1·5/10 ≈ 0,8
b) Nein, günstig für den Spieler (E(X) > 0)
E(X) = 0,8
c) 1,8
Fair: Einsatz = erwartete Auszahlung · 6·1/10 + 3·4/10 + 0·5/10 ≈ 1,8 €
d) 1,99
Var(X) = Σ (x − E)² · P = 3,96 · σ = √Var ≈ 1,99