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Klataza 🧮 Math

Unit 59 · Ganze Aufgaben 3 und 4

🎯 Binomialverteilung

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Aufgabe 1: Bernoulli-Kette

Ein Saatkorn keimt nicht mit Wahrscheinlichkeit p = 0,4. Betrachtet werden n = 25 Körner; X zählt die nicht keimende Körner.

  1. a) P(X = 9) (4 Dezimalen)?
  2. b) P(X ≤ 9) (4 Dezimalen)?
  3. c) P(X ≥ 12) (4 Dezimalen)?
  4. d) Erwartungswert und Standardabweichung?
  5. e) Wie viele Versuche braucht man mindestens, damit P(X ≥ 1) mindestens 95 % ist?

Aufgabe 2: Bernoulli-Kette

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit p = 0,25 defekt. Betrachtet werden n = 20 Bauteile; X zählt die defekte Teile.

  1. a) P(X = 4) (4 Dezimalen)?
  2. b) P(X ≤ 4) (4 Dezimalen)?
  3. c) P(X ≥ 7) (4 Dezimalen)?
  4. d) Erwartungswert und Standardabweichung?
  5. e) Wie viele Versuche braucht man mindestens, damit P(X ≥ 1) mindestens 95 % ist?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 0,1511
    P(X = 9) = (25 über 9) · 0,49 · 0,616 · = 2042975 · … ≈ 0,1511
  2. b) 0,4246
    Summe P(X = 0) + … + P(X = 9) (Tabelle/Taschenrechner) ≈ 0,4246
  3. c) 0,2677
    P(X ≥ 12) = 1 − P(X ≤ 11) ≈ 0,2677
  4. d) μ = 10, σ = 2,45
    μ = n·p = 10 · σ = √(n·p·(1 − p)) = √6 ≈ 2,45
  5. e) 6
    1 − 0,6n ≥ 0,95 ⇔ 0,6n ≤ 0,05 · n ≥ ln 0,05 / ln 0,6 ≈ 5,86 ⇒ n = 6

Aufgabe 2

  1. a) 0,1897
    P(X = 4) = (20 über 4) · 0,254 · 0,7516 · = 4845 · … ≈ 0,1897
  2. b) 0,4148
    Summe P(X = 0) + … + P(X = 4) (Tabelle/Taschenrechner) ≈ 0,4148
  3. c) 0,2142
    P(X ≥ 7) = 1 − P(X ≤ 6) ≈ 0,2142
  4. d) μ = 5, σ = 1,94
    μ = n·p = 5 · σ = √(n·p·(1 − p)) = √3,75 ≈ 1,94
  5. e) 11
    1 − 0,75n ≥ 0,95 ⇔ 0,75n ≤ 0,05 · n ≥ ln 0,05 / ln 0,75 ≈ 10,41 ⇒ n = 11