⚖️ Hypothesentest

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Aufgabe 1: Hypothesentest: wirkt das Mittel?

Ein Medikament soll bei mindestens 80 % der Patienten wirken (H₀: p ≥ 0,8). Es wird an 100 Patienten getestet; X = Anzahl der Patienten, bei denen es wirkt. Signifikanzniveau 5 %.

a) Ablehnungsbereich {0; …; k}: größtes k?
b) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Dezimalen)?
c) Im Test ergibt sich X = 75. Entscheidung?☐ H₀ wird abgelehnt ☐ H₀ wird nicht abgelehnt
d) Fehler 2. Art, falls in Wahrheit p = 0,65 ist (4 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Hypothesentest: wirkt das Mittel?

Ein Medikament soll bei mindestens 80 % der Patienten wirken (H₀: p ≥ 0,8). Es wird an 100 Patienten getestet; X = Anzahl der Patienten, bei denen es wirkt. Signifikanzniveau 5 %.

a) Ablehnungsbereich {0; …; k}: größtes k?
b) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Dezimalen)?
c) Im Test ergibt sich X = 73. Entscheidung?☐ H₀ wird abgelehnt ☐ H₀ wird nicht abgelehnt
d) Fehler 2. Art, falls in Wahrheit p = 0,65 ist (4 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

a) 72
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 für p = 0,8 · P(X ≤ 72) = 0,0342 ≤ 0,05, aber P(X ≤ 73) = 0,0558 > 0,05 · Ablehnungsbereich {0; …; 72}
b) 0,0342
Fehler 1. Art: H₀ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt. · P(X ≤ 72) mit p = 0,8 ≈ 0,0342
c) H₀ wird nicht abgelehnt
75 liegt nicht im Ablehnungsbereich.
d) 0,0558
Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. · P(X ≥ 73) mit p = 0,65 ≈ 0,0558

Aufgabe 2

a) 72
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 für p = 0,8 · P(X ≤ 72) = 0,0342 ≤ 0,05, aber P(X ≤ 73) = 0,0558 > 0,05 · Ablehnungsbereich {0; …; 72}
b) 0,0342
Fehler 1. Art: H₀ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt. · P(X ≤ 72) mit p = 0,8 ≈ 0,0342
c) H₀ wird nicht abgelehnt
73 liegt nicht im Ablehnungsbereich.
d) 0,0558
Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. · P(X ≥ 73) mit p = 0,65 ≈ 0,0558