⚖️ Hypothesentest

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Aufgabe 1: Hypothesentest: wirkt das Mittel?

Ein Medikament soll bei mindestens 70 % der Patienten wirken (H₀: p ≥ 0,7). Es wird an 100 Patienten getestet; X = Anzahl der Patienten, bei denen es wirkt. Signifikanzniveau 5 %.

a) Ablehnungsbereich {0; …; k}: größtes k?
b) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Dezimalen)?
c) Im Test ergibt sich X = 64. Entscheidung?☐ H₀ wird abgelehnt ☐ H₀ wird nicht abgelehnt
d) Fehler 2. Art, falls in Wahrheit p = 0,55 ist (4 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Hypothesentest: zu viele Defekte?

Ein Hersteller behauptet: Höchstens 20 % seiner Geräte sind defekt (H₀: p ≤ 0,2). Ein Händler prüft 50 Geräte; X = Anzahl defekter Geräte. Signifikanzniveau 5 %.

a) Ablehnungsbereich {k; …; n}: kleinstes k?
b) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Dezimalen)?
c) Im Test ergibt sich X = 15. Entscheidung?☐ H₀ wird abgelehnt ☐ H₀ wird nicht abgelehnt
d) Fehler 2. Art, falls in Wahrheit p = 0,3 ist (4 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

a) 61
Gesucht: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 für p = 0,7 · P(X ≤ 61) = 0,034 ≤ 0,05, aber P(X ≤ 62) = 0,053 > 0,05 · Ablehnungsbereich {0; …; 61}
b) 0,034
Fehler 1. Art: H₀ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt. · P(X ≤ 61) mit p = 0,7 ≈ 0,034
c) H₀ wird nicht abgelehnt
64 liegt nicht im Ablehnungsbereich.
d) 0,0951
Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. · P(X ≥ 62) mit p = 0,55 ≈ 0,0951

Aufgabe 2

a) 16
Gesucht: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05 für p = 0,2 · P(X ≥ 16) = 0,0308 ≤ 0,05, aber P(X ≥ 15) = 0,0607 > 0,05 · Ablehnungsbereich {16; …; 50}
b) 0,0308
Fehler 1. Art: H₀ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt. · P(X ≥ 16) mit p = 0,2 ≈ 0,0308
c) H₀ wird nicht abgelehnt
15 liegt nicht im Ablehnungsbereich.
d) 0,5692
Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. · P(X ≤ 15) mit p = 0,3 ≈ 0,5692