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Unit 61 · Ganze Aufgaben 5 und 6

🧱 Spatprodukt

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Aufgabe 1: Spatprodukt und Pyramide

A(1 | −1 | −2), B(2 | −2 | 0), C(3 | 2 | 1), D(0 | 2 | −1)

  1. a) AB × AC?
  2. b) Volumen des Spats, der von AB, AC und AD aufgespannt wird?
  3. c) Volumen der dreiseitigen Pyramide ABCD (2 Dezimalen)?
  4. d) Liegen AB, AC und w = (3 | 2 | 5) in einer Ebene (komplanar)?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Spatprodukt und Pyramide

A(2 | 1 | 2), B(4 | −1 | 4), C(1 | 4 | 4), D(3 | 4 | 4)

  1. a) AB × AC?
  2. b) Volumen des Spats, der von AB, AC und AD aufgespannt wird?
  3. c) Volumen der dreiseitigen Pyramide ABCD (2 Dezimalen)?
  4. d) Liegen AB, AC und w = (4 | −8 | −2) in einer Ebene (komplanar)?☐ Ja ☐ Nein

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = −9, x₂ = 1, x₃ = 5
    AB = (1 | −1 | 2), AC = (2 | 3 | 3) · AB × AC = (−9 | 1 | 5)
  2. b) 17
    (AB × AC) · AD = (−9 | 1 | 5) · (−1 | 3 | 1) = 17 · V = |17| = 17
  3. c) 2,83
    V = ⅙ · |(AB × AC) · AD| = 17/6 ≈ 2,83
  4. d) Ja
    (AB × AC) · w = 0 = 0 ⇒ komplanar

Aufgabe 2

  1. a) x₁ = −10, x₂ = −6, x₃ = 4
    AB = (2 | −2 | 2), AC = (−1 | 3 | 2) · AB × AC = (−10 | −6 | 4)
  2. b) 20
    (AB × AC) · AD = (−10 | −6 | 4) · (1 | 3 | 2) = −20 · V = |−20| = 20
  3. c) 3,33
    V = ⅙ · |(AB × AC) · AD| = 20/6 ≈ 3,33
  4. d) Ja
    (AB × AC) · w = 0 = 0 ⇒ komplanar