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Unit 63 · Ganze Aufgaben 1 und 2

🛩️ Ebenen im Raum

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Aufgabe 1: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(1 | 2 | −1), B(3 | 3 | 1) und C(3 | 1 | −2).

Gerade g: X = (7 | 2 | 4) + r · (−1 | 0 | −2); Punkt Q(0 | 3 | 0)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(−1 | −1 | −2), B(0 | 0 | −3) und C(−1 | 0 | −4).

Gerade g: X = (4 | −3 | −3) + r · (2 | −1 | −1); Punkt Q(−2 | 0 | 3)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) a = 1, b = 6, c = −4, d = 17 (oder ein Vielfaches)
    AB = (2 | 1 | 2), AC = (2 | −1 | −1) · Normalenvektor n = AB × AC = (1 | 6 | −4) · A einsetzen: d = n · A = 17 · E: x₁ + 6x₂ − 4x₃ = 17
  2. b) −4,25
    x₁ = x₂ = 0: −4x₃ = 17 · x₃ = −4,25
  3. c) x₁ = 5, x₂ = 2, x₃ = 0
    g in E einsetzen: 1·(7 − 1r) + 6·(2 + 0r) + −4·(4 − 2r) = 17 · 7r = 14 ⇒ r = 2 · S(5 | 2 | 0)
  4. d) 0,14
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |18 − 17| / √53 ≈ 0,14

Aufgabe 2

  1. a) a = 1, b = −2, c = −1, d = 3 (oder ein Vielfaches)
    AB = (1 | 1 | −1), AC = (0 | 1 | −2) · Normalenvektor n = AB × AC = (−1 | 2 | 1) → gekürzt (1 | −2 | −1) · A einsetzen: d = n · A = 3 · E: x₁ − 2x₂ − x₃ = 3
  2. b) −3
    x₁ = x₂ = 0: −x₃ = 3 · x₃ = −3
  3. c) x₁ = 0, x₂ = −1, x₃ = −1
    g in E einsetzen: 1·(4 + 2r) + −2·(−3 − 1r) + −1·(−3 − 1r) = 3 · 5r = −10 ⇒ r = −2 · S(0 | −1 | −1)
  4. d) 3,27
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−5 − 3| / √6 ≈ 3,27