← All Math worksheets QR code for class
Klataza 🧮 Math

Unit 63 · Ganze Aufgaben 3 und 4

🛩️ Ebenen im Raum

Name: ____________________Date: ____________
Scan to do this lesson online

Aufgabe 1: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(3 | 1 | −2), B(4 | 3 | −4) und C(4 | −1 | −3).

Gerade g: X = (9 | 1 | −7) + r · (2 | 0 | −1); Punkt Q(2 | 2 | 1)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(−2 | −1 | −1), B(−1 | −1 | −2) und C(−1 | 0 | 1).

Gerade g: X = (−2 | 2 | −2) + r · (−1 | 1 | −1); Punkt Q(4 | −1 | 3)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) a = 6, b = 1, c = 4, d = 11 (oder ein Vielfaches)
    AB = (1 | 2 | −2), AC = (1 | −2 | −1) · Normalenvektor n = AB × AC = (−6 | −1 | −4) → gekürzt (6 | 1 | 4) · A einsetzen: d = n · A = 11 · E: 6x₁ + x₂ + 4x₃ = 11
  2. b) 2,75
    x₁ = x₂ = 0: 4x₃ = 11 · x₃ = 2,75
  3. c) x₁ = 5, x₂ = 1, x₃ = −5
    g in E einsetzen: 6·(9 + 2r) + 1·(1 + 0r) + 4·(−7 − 1r) = 11 · 8r = −16 ⇒ r = −2 · S(5 | 1 | −5)
  4. d) 0,96
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |18 − 11| / √53 ≈ 0,96

Aufgabe 2

  1. a) a = 1, b = −3, c = 1, d = 0 (oder ein Vielfaches)
    AB = (1 | 0 | −1), AC = (1 | 1 | 2) · Normalenvektor n = AB × AC = (1 | −3 | 1) · A einsetzen: d = n · A = 0 · E: x₁ − 3x₂ + x₃ = 0
  2. b) 0
    x₁ = x₂ = 0: x₃ = 0 · x₃ = 0
  3. c) x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0
    g in E einsetzen: 1·(−2 − 1r) + −3·(2 + 1r) + 1·(−2 − 1r) = 0 · −5r = 10 ⇒ r = −2 · S(0 | 0 | 0)
  4. d) 3,02
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |10 − 0| / √11 ≈ 3,02