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Unit 63 · Ganze Aufgaben 5 und 6

🛩️ Ebenen im Raum

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Aufgabe 1: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(0 | −1 | 0), B(−2 | −2 | −2) und C(−2 | 1 | 1).

Gerade g: X = (0 | 0 | 3) + r · (−2 | 0 | −2); Punkt Q(−2 | 4 | 4)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(2 | −1 | 2), B(3 | −1 | 3) und C(4 | 0 | 2).

Gerade g: X = (9 | 0 | 3) + r · (2 | 0 | 0); Punkt Q(0 | 3 | −2)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) a = 1, b = 2, c = −2, d = −2 (oder ein Vielfaches)
    AB = (−2 | −1 | −2), AC = (−2 | 2 | 1) · Normalenvektor n = AB × AC = (3 | 6 | −6) → gekürzt (1 | 2 | −2) · A einsetzen: d = n · A = −2 · E: x₁ + 2x₂ − 2x₃ = −2
  2. b) 1
    x₁ = x₂ = 0: −2x₃ = −2 · x₃ = 1
  3. c) x₁ = −4, x₂ = 0, x₃ = −1
    g in E einsetzen: 1·(0 − 2r) + 2·(0 + 0r) + −2·(3 − 2r) = −2 · 2r = 4 ⇒ r = 2 · S(−4 | 0 | −1)
  4. d) 0
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−2 − −2| / √9 ≈ 0

Aufgabe 2

  1. a) a = 1, b = −2, c = −1, d = 2 (oder ein Vielfaches)
    AB = (1 | 0 | 1), AC = (2 | 1 | 0) · Normalenvektor n = AB × AC = (−1 | 2 | 1) → gekürzt (1 | −2 | −1) · A einsetzen: d = n · A = 2 · E: x₁ − 2x₂ − x₃ = 2
  2. b) −2
    x₁ = x₂ = 0: −x₃ = 2 · x₃ = −2
  3. c) x₁ = 5, x₂ = 0, x₃ = 3
    g in E einsetzen: 1·(9 + 2r) + −2·(0 + 0r) + −1·(3 + 0r) = 2 · 2r = −4 ⇒ r = −2 · S(5 | 0 | 3)
  4. d) 2,45
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−4 − 2| / √6 ≈ 2,45