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Unit 64 · Ganze Aufgaben 1 und 2

➗ Gebrochen-rationale Funktionen

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Aufgabe 1: Gebrochen-rationale Funktion

Gegeben ist f(x) = (3x − 6) / (x + 3).

  1. a) Definitionslücke von f?
  2. b) Art der Definitionslücke?☐ Polstelle mit Vorzeichenwechsel ☐ Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ☐ hebbare Definitionslücke
  3. c) Waagrechte Asymptote: y = ?
  4. d) Nullstelle von f (3 Dezimalen)?
  5. e) Ableitung mit der Quotientenregel?
  6. f) Monotonie von f?☐ auf beiden Teilen von D streng monoton steigend ☐ auf beiden Teilen von D streng monoton fallend

Aufgabe 2: Schiefe Asymptote (Polynomdivision)

Gegeben ist f(x) = (x² − x − 2) / (x − 1).

  1. a) Nullstellen von f?
  2. b) Polstelle?
  3. c) Schiefe Asymptote y = mx + t?
  4. d) Liegt der Graph für x → +∞ oberhalb oder unterhalb der Asymptote?☐ oberhalb ☐ unterhalb

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −3
    Nenner = 0: x + 3 = 0 ⇒ x = −3
  2. b) Polstelle mit Vorzeichenwechsel
    Der Zähler ist bei x = −3 nicht 0: −15 ≠ 0 ⇒ Polstelle. · Der Faktor (x − c) steht in der 1. Potenz ⇒ Vorzeichenwechsel.
  3. c) 3
    Zählergrad = Nennergrad ⇒ y = Quotient der Leitkoeffizienten · y = 3/1 = 3
  4. d) 2
    Zähler = 0: 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2
  5. e) 15 / (x + 3)²
    (u/v)' = (u'v − uv') / v² · f'(x) = (3·(x + 3) − (3x − 6)·1) / (x + 3)² · = 15 / (x + 3)²
  6. f) auf beiden Teilen von D streng monoton steigend
    f'(x) = 15 / (x + 3)²: der Nenner ist immer positiv · f'(x) > 0 ⇒ steigend

Aufgabe 2

  1. a) −1; 2
    Zähler = 0: x² − x − 2 = 0 · x = 2 oder x = −1 (beide ≠ 1)
  2. b) 1
    Nenner x − 1 = 0 ⇒ x = 1
  3. c) m = 1, t = 0
    Polynomdivision: (x² − x − 2) : (x − 1) = x + 0 Rest −2 · f(x) = x + 0 + −2/(x − 1) · Asymptote: y = x + 0
  4. d) unterhalb
    Abstand zur Asymptote: −2/(x − 1) · Für große x ist der Nenner positiv ⇒ Vorzeichen von −2 entscheidet.