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Unit 64 · Ganze Aufgaben 3 und 4

➗ Gebrochen-rationale Funktionen

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Aufgabe 1: Hebbare Lücke und Polstelle

Gegeben ist f(x) = (x² − 3x + 2) / (x² + 3x − 4).

  1. a) Definitionslücken von f?
  2. b) Bei welcher Stelle liegt die hebbare Lücke?
  3. c) y-Wert des „Lochs“ im Graphen (3 Dezimalen)?
  4. d) Waagrechte Asymptote: y = ?

Aufgabe 2: Gebrochen-rationale Funktion

Gegeben ist f(x) = (3x − 3) / (x − 4).

  1. a) Definitionslücke von f?
  2. b) Art der Definitionslücke?☐ Polstelle mit Vorzeichenwechsel ☐ Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ☐ hebbare Definitionslücke
  3. c) Waagrechte Asymptote: y = ?
  4. d) Nullstelle von f (3 Dezimalen)?
  5. e) Ableitung mit der Quotientenregel?
  6. f) Monotonie von f?☐ auf beiden Teilen von D streng monoton steigend ☐ auf beiden Teilen von D streng monoton fallend

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −4; 1
    Nenner = 0: x² + 3x − 4 = 0 ⇒ x = 1 oder x = −4
  2. b) 1
    Faktorisieren: f(x) = (x − 1)(x − 2) / ((x − 1)(x + 4)) · (x − 1) kürzt sich ⇒ hebbar bei x = 1
  3. c) −0,2
    Gekürzt: f(x) = (x − 2) / (x + 4) · (1 − 2) / (1 + 4) = −0,2
  4. d) 1
    Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 1 und 1 ⇒ y = 1

Aufgabe 2

  1. a) 4
    Nenner = 0: x − 4 = 0 ⇒ x = 4
  2. b) Polstelle mit Vorzeichenwechsel
    Der Zähler ist bei x = 4 nicht 0: 9 ≠ 0 ⇒ Polstelle. · Der Faktor (x − c) steht in der 1. Potenz ⇒ Vorzeichenwechsel.
  3. c) 3
    Zählergrad = Nennergrad ⇒ y = Quotient der Leitkoeffizienten · y = 3/1 = 3
  4. d) 1
    Zähler = 0: 3x − 3 = 0 ⇒ x = 1
  5. e) −9 / (x − 4)²
    (u/v)' = (u'v − uv') / v² · f'(x) = (3·(x − 4) − (3x − 3)·1) / (x − 4)² · = −9 / (x − 4)²
  6. f) auf beiden Teilen von D streng monoton fallend
    f'(x) = −9 / (x − 4)²: der Nenner ist immer positiv · f'(x) < 0 ⇒ fallend