Klataza 🧮 Math
Unit 64 · Ganze Aufgaben 5 und 6
➗ Gebrochen-rationale Funktionen
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Aufgabe 1: Schiefe Asymptote (Polynomdivision)
Gegeben ist f(x) = (x² + 3x + 2) / (x − 1).
- a) Nullstellen von f?
- b) Polstelle?
- c) Schiefe Asymptote y = mx + t?
- d) Liegt der Graph für x → +∞ oberhalb oder unterhalb der Asymptote?☐ oberhalb ☐ unterhalb
Aufgabe 2: Hebbare Lücke und Polstelle
Gegeben ist f(x) = (x² − 9) / (x² + 3x).
- a) Definitionslücken von f?
- b) Bei welcher Stelle liegt die hebbare Lücke?
- c) y-Wert des „Lochs“ im Graphen (3 Dezimalen)?
- d) Waagrechte Asymptote: y = ?
Lösungen
Aufgabe 1
- a) −2; −1
Zähler = 0: x² + 3x + 2 = 0 · x = −2 oder x = −1 (beide ≠ 1) - b) 1
Nenner x − 1 = 0 ⇒ x = 1 - c) m = 1, t = 4
Polynomdivision: (x² + 3x + 2) : (x − 1) = x + 4 Rest 6 · f(x) = x + 4 + 6/(x − 1) · Asymptote: y = x + 4 - d) oberhalb
Abstand zur Asymptote: 6/(x − 1) · Für große x ist der Nenner positiv ⇒ Vorzeichen von 6 entscheidet.
Aufgabe 2
- a) −3; 0
Nenner = 0: x² + 3x = 0 ⇒ x = −3 oder x = 0 - b) −3
Faktorisieren: f(x) = (x + 3)(x − 3) / ((x + 3)(x + 0)) · (x + 3) kürzt sich ⇒ hebbar bei x = −3 - c) 2
Gekürzt: f(x) = (x − 3) / (x + 0) · (−3 − 3) / (−3 + 0) = 2 - d) 1
Gleicher Grad, Leitkoeffizienten 1 und 1 ⇒ y = 1