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Klataza 🧮 Math

Unit 65 · Ganze Aufgaben 1 und 2

♾️ Uneigentliche Integrale

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Aufgabe 1: Uneigentliches Integral

Gegeben ist f(x) = 2 / (x − 2)² für x > 2.

  1. a) Eine Stammfunktion F von f?
  2. b) ∫ von 3 bis 12 f(x) dx (3 Dezimalen)?
  3. c) Uneigentliches Integral ∫ von 3 bis ∞ f(x) dx?
  4. d) Und ∫ von 1 bis ∞ von 1/x dx?☐ existiert nicht (divergiert) ☐ ist 1 ☐ ist 0

Aufgabe 2: Stammfunktion von (mx + t)^(−n)

Gegeben ist f(x) = 1 / (4x + 2)3.

  1. a) Eine Stammfunktion F?
  2. b) ∫ von 0 bis 1 f(x) dx (4 Dezimalen)?
  3. c) ∫ von 0 bis ∞ f(x) dx (4 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −2 / (x − 2)
    f(x) = 2·(x − 2)−2 · F(x) = 2·(x − 2)−1 / (−1) = −2/(x − 2)
  2. b) 1,8
    F(12) − F(3) = −2/10 + 2/1 = 1,8
  3. c) 2
    ∫ von 3 bis b = 2 − 2/(b − 2) · b → ∞: 2/(b − 2) → 0 ⇒ Wert 2
  4. d) existiert nicht (divergiert)
    Stammfunktion ln x, und ln b → ∞ für b → ∞.

Aufgabe 2

  1. a) 1 / (−8·(4x + 2)2)
    (mx + t)−3 → (mx + t)−2 / (−2 · 4) · Innere Ableitung m: durch m teilen (lineare Substitution).
  2. b) 0,0278
    F(1) − F(0) ≈ −0,00347 − (−0,03125) ≈ 0,0278
  3. c) 0,0313
    F(b) → 0 für b → ∞ · Wert: 0 − F(0) = 0,0313