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Klataza 🧮 Math

Unit 65 · Ganze Aufgaben 3 und 4

♾️ Uneigentliche Integrale

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Aufgabe 1: Uneigentliches Integral

Gegeben ist f(x) = 1 / (x + 0)² für x > 0.

  1. a) Eine Stammfunktion F von f?
  2. b) ∫ von 1 bis 2 f(x) dx (3 Dezimalen)?
  3. c) Uneigentliches Integral ∫ von 1 bis ∞ f(x) dx?
  4. d) Und ∫ von 1 bis ∞ von 1/x dx?☐ existiert nicht (divergiert) ☐ ist 1 ☐ ist 0

Aufgabe 2: Stammfunktion von (mx + t)^(−n)

Gegeben ist f(x) = 1 / (2x + 4)3.

  1. a) Eine Stammfunktion F?
  2. b) ∫ von 0 bis 1 f(x) dx (4 Dezimalen)?
  3. c) ∫ von 0 bis ∞ f(x) dx (4 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −1 / (x + 0)
    f(x) = 1·(x + 0)−2 · F(x) = 1·(x + 0)−1 / (−1) = −1/(x + 0)
  2. b) 0,5
    F(2) − F(1) = −1/2 + 1/1 = 0,5
  3. c) 1
    ∫ von 1 bis b = 1 − 1/(b + 0) · b → ∞: 1/(b + 0) → 0 ⇒ Wert 1
  4. d) existiert nicht (divergiert)
    Stammfunktion ln x, und ln b → ∞ für b → ∞.

Aufgabe 2

  1. a) 1 / (−4·(2x + 4)2)
    (mx + t)−3 → (mx + t)−2 / (−2 · 2) · Innere Ableitung m: durch m teilen (lineare Substitution).
  2. b) 0,0087
    F(1) − F(0) ≈ −0,00694 − (−0,01562) ≈ 0,0087
  3. c) 0,0156
    F(b) → 0 für b → ∞ · Wert: 0 − F(0) = 0,0156