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Klataza 🧮 Math

Unit 65 · Ganze Aufgaben 5 und 6

♾️ Uneigentliche Integrale

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Aufgabe 1: Uneigentliches Integral

Gegeben ist f(x) = 6 / (x + 1)² für x > −1.

  1. a) Eine Stammfunktion F von f?
  2. b) ∫ von 0 bis 1 f(x) dx (3 Dezimalen)?
  3. c) Uneigentliches Integral ∫ von 0 bis ∞ f(x) dx?
  4. d) Und ∫ von 1 bis ∞ von 1/x dx?☐ existiert nicht (divergiert) ☐ ist 1 ☐ ist 0

Aufgabe 2: Stammfunktion von (mx + t)^(−n)

Gegeben ist f(x) = 1 / (2x + 1)2.

  1. a) Eine Stammfunktion F?
  2. b) ∫ von 0 bis 1 f(x) dx (4 Dezimalen)?
  3. c) ∫ von 0 bis ∞ f(x) dx (4 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −6 / (x + 1)
    f(x) = 6·(x + 1)−2 · F(x) = 6·(x + 1)−1 / (−1) = −6/(x + 1)
  2. b) 3
    F(1) − F(0) = −6/2 + 6/1 = 3
  3. c) 6
    ∫ von 0 bis b = 6 − 6/(b + 1) · b → ∞: 6/(b + 1) → 0 ⇒ Wert 6
  4. d) existiert nicht (divergiert)
    Stammfunktion ln x, und ln b → ∞ für b → ∞.

Aufgabe 2

  1. a) 1 / (−2·(2x + 1)1)
    (mx + t)−2 → (mx + t)−1 / (−1 · 2) · Innere Ableitung m: durch m teilen (lineare Substitution).
  2. b) 0,3333
    F(1) − F(0) ≈ −0,16667 − (−0,5) ≈ 0,3333
  3. c) 0,5
    F(b) → 0 für b → ∞ · Wert: 0 − F(0) = 0,5