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Klataza 🧮 Math

Unit 66 · Ganze Aufgaben 1 und 2

🪵 Logarithmusfunktion

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Aufgabe 1: Logarithmusfunktion

Gegeben ist f(x) = 3ln(x) + 1

  1. a) Definitionsmenge D = ]u; ∞[: u = ?
  2. b) Nullstelle (3 Dezimalen)?
  3. c) Erste Ableitung?
  4. d) Steigung an der Stelle x = 1?
  5. e) Verhalten für x → 0 (von rechts)?☐ f(x) → −∞ ☐ f(x) → +∞ ☐ f(x) → 1

Aufgabe 2: f(x) = x · ln x

Gegeben ist f(x) = x · ln(x), x > 0.

  1. a) Nullstelle?
  2. b) Erste Ableitung?
  3. c) Tiefpunkt T (3 Dezimalen)?
  4. d) Verhalten für x → 0⁺?☐ f(x) → 0 ☐ f(x) → −∞ ☐ f(x) → +∞

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 0
    ln braucht ein positives Argument: x > 0 · x > 0
  2. b) 0,717
    3·ln(x) = −1 ⇒ ln(x) = −0,333 · x = e−0,333 ⇒ x = 0,717
  3. c) 3 / (x)
    (ln(g(x)))' = g'(x) / g(x) · f'(x) = 3 · 1 / (x)
  4. d) 3
    x = 1 an dieser Stelle · f'(1) = 3/1 = 3
  5. e) f(x) → −∞
    ln(z) → −∞ für z → 0⁺ · Positiver Faktor ⇒ f → −∞ (senkrechte Asymptote).

Aufgabe 2

  1. a) 1
    x > 0, also muss ln x = 0 sein ⇒ x = 1
  2. b) ln x + 1
    Produktregel: 1 · ln x + x · 1/x = ln x + 1
  3. c) x = 0,368, y = −0,368
    ln x + 1 = 0 ⇒ x = e⁻¹ ≈ 0,368 · f(e⁻¹) = e⁻¹ · (−1) ≈ −0,368
  4. d) f(x) → 0
    x geht schneller gegen 0, als ln x gegen −∞ ⇒ x · ln x → 0.