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Klataza 🧮 Math

Unit 66 · Ganze Aufgaben 3 und 4

🪵 Logarithmusfunktion

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Aufgabe 1: Logarithmusfunktion

Gegeben ist f(x) = −ln(x + 1) − 3

  1. a) Definitionsmenge D = ]u; ∞[: u = ?
  2. b) Nullstelle (3 Dezimalen)?
  3. c) Erste Ableitung?
  4. d) Steigung an der Stelle x = 0?
  5. e) Verhalten für x → −1 (von rechts)?☐ f(x) → −∞ ☐ f(x) → +∞ ☐ f(x) → −3

Aufgabe 2: f(x) = ln(x) / x

Gegeben ist f(x) = ln(x) / x, x > 0.

  1. a) Nullstelle?
  2. b) Erste Ableitung (Quotientenregel)?
  3. c) Hochpunkt H (3 Dezimalen)?
  4. d) Waagrechte Asymptote für x → ∞: y = ?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) −1
    ln braucht ein positives Argument: x + 1 > 0 · x > −1
  2. b) −0,95
    −1·ln(x + 1) = 3 ⇒ ln(x + 1) = −3 · x + 1 = e−3 ⇒ x = −0,95
  3. c) −1 / (x + 1)
    (ln(g(x)))' = g'(x) / g(x) · f'(x) = −1 · 1 / (x + 1)
  4. d) −1
    x + 1 = 1 an dieser Stelle · f'(0) = −1/1 = −1
  5. e) f(x) → +∞
    ln(z) → −∞ für z → 0⁺ · Negativer Faktor ⇒ f → +∞ (senkrechte Asymptote).

Aufgabe 2

  1. a) 1
    ln x = 0 ⇒ x = 1
  2. b) (1 − ln x) / x²
    ((1/x)·x − ln x · 1) / x² = (1 − ln x) / x²
  3. c) x = 2,718, y = 0,368
    1 − ln x = 0 ⇒ x = e ≈ 2,718 · f(e) = 1/e ≈ 0,368
  4. d) 0
    x wächst schneller als ln x ⇒ ln x / x → 0