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Klataza 🧮 Math

Unit 67 · Ganze Aufgaben 1 und 2

🧮 Integrationsverfahren

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Aufgabe 1: Partielle Integration

Gegeben ist f(x) = x · e−1x.

  1. a) Eine Stammfunktion (partielle Integration)?
  2. b) ∫ von 0 bis 2 f(x) dx (3 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Substitution und f'/f

(1) f(x) = 2x · (x² + 4)3

(2) g(x) = 2x / (x² + 4)

(3) h(x) = ln(x)

  1. a) Stammfunktion von f (Substitution z = x² + c)?
  2. b) Stammfunktion von g?
  3. c) ∫ von 1 bis e h(x) dx?
  4. d) ∫ von 0 bis 1 g(x) dx (3 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) (x/−1 − 1)·e−1x
    ∫ u·v' = u·v − ∫ u'·v mit u = x, v' = ekx · v = e−1x/−1 · F(x) = x·e−1x/−1 − ∫ e−1x/−1 dx = (x/−1 − 1)·e−1x
  2. b) 0,594
    F(2) − F(0) = −0,406 − (−1) ≈ 0,594

Aufgabe 2

  1. a) (x² + 4)4 / 4
    z = x² + 4, dz = 2x dx · ∫ z3 dz = z4/4
  2. b) ln(x² + 4)
    Im Zähler steht die Ableitung des Nenners: ∫ f'/f = ln|f| · G(x) = ln(x² + 4)
  3. c) 1
    Partiell mit u = ln x, v' = 1: H(x) = x·ln x − x · H(e) − H(1) = (e − e) − (0 − 1) = 1
  4. d) 0,223
    ln(1 + 4) − ln(4) = ln(1,25) ≈ 0,223