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Klataza 🧮 Math

Unit 67 · Ganze Aufgaben 5 und 6

🧮 Integrationsverfahren

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Aufgabe 1: Substitution und f'/f

(1) f(x) = 2x · (x² + 4)3

(2) g(x) = 2x / (x² + 4)

(3) h(x) = ln(x)

  1. a) Stammfunktion von f (Substitution z = x² + c)?
  2. b) Stammfunktion von g?
  3. c) ∫ von 1 bis e h(x) dx?
  4. d) ∫ von 0 bis 1 g(x) dx (3 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Partialbruchzerlegung

Gegeben ist f(x) = (9) / (x² − 5x + 4).

  1. a) Nullstellen des Nenners?
  2. b) Zerlege: f(x) = A/(x − 1) + B/(x − 4)
  3. c) ∫ von 5 bis 6 f(x) dx (3 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) (x² + 4)4 / 4
    z = x² + 4, dz = 2x dx · ∫ z3 dz = z4/4
  2. b) ln(x² + 4)
    Im Zähler steht die Ableitung des Nenners: ∫ f'/f = ln|f| · G(x) = ln(x² + 4)
  3. c) 1
    Partiell mit u = ln x, v' = 1: H(x) = x·ln x − x · H(e) − H(1) = (e − e) − (0 − 1) = 1
  4. d) 0,223
    ln(1 + 4) − ln(4) = ln(1,25) ≈ 0,223

Aufgabe 2

  1. a) 1; 4
    x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4)
  2. b) A = −3, B = 3
    9 = A(x − 4) + B(x − 1) · x = 1: 9 = A·(−3) ⇒ A = −3 · x = 4: 9 = B·(3) ⇒ B = 3
  3. c) 1,41
    F(x) = −3·ln|x − 1| + 3·ln|x − 4| · F(6) − F(5) ≈ 1,41