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Unit 68 · Ganze Aufgaben 1 und 2

➡️ Vektoren (Nichttechnik)

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(4 | 0 | 4), B(2 | 3 | 5) und C(−1 | 4 | 6).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (2 | 1 | 1), b = (1 | −2 | 1), c = (−2 | −2 | 1), v = (−1 | 5 | −7)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig?☐ Ja ☐ Nein
  3. c) Und a, b und w = (−6 | 2 | −4)?☐ linear unabhängig ☐ linear abhängig

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = −2, x₂ = 3, x₃ = 1
    AB = B − A (Spitze minus Fuß) · AB = (−2 | 3 | 1)
  2. b) 3,74
    |AB| = √(−2² + 3² + 1²) = √14 ≈ 3,74
  3. c) x₁ = 1,5, x₂ = 2, x₃ = 5
    M = ½(A + C) · M(1,5 | 2 | 5)
  4. d) x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 5
    AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B · D(1 | 1 | 5)
  5. e) Nein
    AB · BC = 10 · Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe 2

  1. a) r = −3, s = −1, t = −3
    Komponentenweise ergibt sich ein LGS: · 2·II − I: −5s − 2t = 11 · 2·III − I: s + 4t = −13 · 5·III + II: 18t = −54 · Rückwärts einsetzen: t = −3, s = −1, r = −3
  2. b) Ja
    Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar). · Determinante ≠ 0: −9
  3. c) linear abhängig
    w = −2·a + −2·b · w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.