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Unit 68 · Ganze Aufgaben 3 und 4

➡️ Vektoren (Nichttechnik)

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(3 | −2 | 2), B(0 | 0 | 1) und C(2 | 3 | 3).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (−2 | −2 | 2), b = (−2 | −2 | 0), c = (−1 | 1 | 1), v = (−7 | −1 | 9)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig?☐ Ja ☐ Nein
  3. c) Und a, b und w = (2 | 2 | −4)?☐ linear unabhängig ☐ linear abhängig

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = −3, x₂ = 2, x₃ = −1
    AB = B − A (Spitze minus Fuß) · AB = (−3 | 2 | −1)
  2. b) 3,74
    |AB| = √(−3² + 2² + −1²) = √14 ≈ 3,74
  3. c) x₁ = 2,5, x₂ = 0,5, x₃ = 2,5
    M = ½(A + C) · M(2,5 | 0,5 | 2,5)
  4. d) x₁ = 5, x₂ = 1, x₃ = 4
    AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B · D(5 | 1 | 4)
  5. e) Nein
    AB · BC = −2 · Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe 2

  1. a) r = 3, s = −1, t = 3
    Komponentenweise ergibt sich ein LGS: · II − I: 2t = 6 · III + I: −2s = 2 · II und III tauschen · Rückwärts einsetzen: t = 3, s = −1, r = 3
  2. b) Ja
    Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar). · Determinante ≠ 0: −8
  3. c) linear abhängig
    w = −2·a + 1·b · w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.