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Unit 68 · Ganze Aufgaben 5 und 6

➡️ Vektoren (Nichttechnik)

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im Raum

Gegeben sind A(0 | 2 | 2), B(−3 | 4 | 2) und C(−4 | 6 | −1).

  1. a) Berechne den Vektor AB.
  2. b) Länge der Strecke [AB] (2 Dezimalen)?
  3. c) Mittelpunkt M der Strecke [AC]?
  4. d) ABCD soll ein Parallelogramm sein. Berechne D.
  5. e) Ist ABCD sogar ein Rechteck?☐ Ja ☐ Nein

Aufgabe 2: Linearkombination mit dem Gauß-Verfahren

a = (2 | 1 | −1), b = (−2 | −1 | 0), c = (2 | −2 | −2), v = (8 | −2 | −4)

  1. a) Stelle v als Linearkombination dar: v = r·a + s·b + t·c.
  2. b) Sind a, b und c linear unabhängig?☐ Ja ☐ Nein
  3. c) Und a, b und w = (0 | 0 | −1)?☐ linear unabhängig ☐ linear abhängig

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) x₁ = −3, x₂ = 2, x₃ = 0
    AB = B − A (Spitze minus Fuß) · AB = (−3 | 2 | 0)
  2. b) 3,61
    |AB| = √(−3² + 2² + 0²) = √13 ≈ 3,61
  3. c) x₁ = −2, x₂ = 4, x₃ = 0,5
    M = ½(A + C) · M(−2 | 4 | 0,5)
  4. d) x₁ = −1, x₂ = 4, x₃ = −1
    AD = BC ⇒ D = A + BC = A + C − B · D(−1 | 4 | −1)
  5. e) Nein
    AB · BC = 7 · Skalarprodukt ≠ 0 ⇒ kein rechter Winkel.

Aufgabe 2

  1. a) r = 0, s = −2, t = 2
    Komponentenweise ergibt sich ein LGS: · 2·II − I: −6t = −12 · 2·III + I: −2s − 2t = 0 · II und III tauschen · Rückwärts einsetzen: t = 2, s = −2, r = 0
  2. b) Ja
    Das LGS r·a + s·b + t·c = 0 hat nur die Lösung r = s = t = 0 (eindeutig lösbar). · Determinante ≠ 0: −6
  3. c) linear abhängig
    w = 1·a + 1·b · w lässt sich aus a und b kombinieren ⇒ linear abhängig.