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Klataza 🧮 Math

Unit 69 · Ganze Aufgaben 1 und 2

✖️ Produkte von Vektoren

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Aufgabe 1: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(0 | −1 | 1), B(−2 | −2 | 0) und C(−2 | −3 | 4).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2 | 1 | −1), B(−4 | 2 | −3) und C(−4 | 0 | −2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 3
    AB = (−2 | −1 | −1), AC = (−2 | −2 | 3) · AB · AC = −2·−2 + −1·−2 + −1·3 = 3
  2. b) 72,7
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 3 / (2,449·4,123) · α ≈ 72,7°
  3. c) x₁ = −5, x₂ = 8, x₃ = 2
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (−5 | 8 | 2)
  4. d) 4,82
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √93 ≈ 4,82
  5. e) −1,5
    Skalarprodukt = 0: −2k + −1 + −2 = 0 · k = −1,5

Aufgabe 2

  1. a) 5
    AB = (−2 | 1 | −2), AC = (−2 | −1 | −1) · AB · AC = −2·−2 + 1·−1 + −2·−1 = 5
  2. b) 47,1
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 5 / (3·2,449) · α ≈ 47,1°
  3. c) x₁ = −3, x₂ = 2, x₃ = 4
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (−3 | 2 | 4)
  4. d) 2,69
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √29 ≈ 2,69
  5. e) −1,5
    Skalarprodukt = 0: −2k + 1 + −4 = 0 · k = −1,5