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Unit 69 · Ganze Aufgaben 3 und 4

✖️ Produkte von Vektoren

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Aufgabe 1: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(0 | −1 | −1), B(1 | −4 | 1) und C(−3 | −3 | −2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(1 | 0 | 3), B(0 | 0 | 1) und C(2 | −2 | 2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 1
    AB = (1 | −3 | 2), AC = (−3 | −2 | −1) · AB · AC = 1·−3 + −3·−2 + 2·−1 = 1
  2. b) 85,9
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 1 / (3,742·3,742) · α ≈ 85,9°
  3. c) x₁ = 7, x₂ = −5, x₃ = −11
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (7 | −5 | −11)
  4. d) 6,98
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √195 ≈ 6,98
  5. e) −1
    Skalarprodukt = 0: 1k + −3 + 4 = 0 · k = −1

Aufgabe 2

  1. a) 1
    AB = (−1 | 0 | −2), AC = (1 | −2 | −1) · AB · AC = −1·1 + 0·−2 + −2·−1 = 1
  2. b) 79,5
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 1 / (2,236·2,449) · α ≈ 79,5°
  3. c) x₁ = −4, x₂ = −3, x₃ = 2
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (−4 | −3 | 2)
  4. d) 2,69
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √29 ≈ 2,69
  5. e) −4
    Skalarprodukt = 0: −1k + 0 + −4 = 0 · k = −4