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Klataza 🧮 Math

Unit 69 · Ganze Aufgaben 5 und 6

✖️ Produkte von Vektoren

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Aufgabe 1: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−1 | −2 | 3), B(2 | −4 | 6) und C(1 | −3 | 1).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Winkel, Vektorprodukt, Dreiecksfläche

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(1 | 2 | 1), B(−2 | −1 | −1) und C(0 | 2 | 2).

  1. a) Skalarprodukt AB · AC?
  2. b) Winkel α = ∠BAC (Grad, 1 Dezimale)?
  3. c) Berechne AB × AC.
  4. d) Flächeninhalt des Dreiecks ABC (2 Dezimalen)?
  5. e) Für welches k steht (k | 1 | 2) senkrecht auf AB (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) 2
    AB = (3 | −2 | 3), AC = (2 | −1 | −2) · AB · AC = 3·2 + −2·−1 + 3·−2 = 2
  2. b) 81,8
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 2 / (4,69·3) · α ≈ 81,8°
  3. c) x₁ = 7, x₂ = 12, x₃ = 1
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (7 | 12 | 1)
  4. d) 6,96
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √194 ≈ 6,96
  5. e) −1,33
    Skalarprodukt = 0: 3k + −2 + 6 = 0 · k = −1,33

Aufgabe 2

  1. a) 1
    AB = (−3 | −3 | −2), AC = (−1 | 0 | 1) · AB · AC = −3·−1 + −3·0 + −2·1 = 1
  2. b) 81,3
    cos α = (AB · AC) / (|AB|·|AC|) = 1 / (4,69·1,414) · α ≈ 81,3°
  3. c) x₁ = −3, x₂ = 5, x₃ = −3
    Kreuzprodukt: (u₂v₃ − u₃v₂ | u₃v₁ − u₁v₃ | u₁v₂ − u₂v₁) · = (−3 | 5 | −3)
  4. d) 3,28
    A = ½ · |AB × AC| = ½ · √43 ≈ 3,28
  5. e) −2,33
    Skalarprodukt = 0: −3k + −3 + −4 = 0 · k = −2,33