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Klataza 🧮 Math

Unit 70 · Ganze Aufgaben 1 und 2

🛩️ Geraden und Ebenen

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Aufgabe 1: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(1 | 1 | 2), B(1 | 3 | 3) und C(0 | −1 | 3).

Gerade g: X = (−1 | 0 | 3) + r · (−1 | −1 | −1); Punkt Q(4 | 2 | −2)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Aufgabe 2: Ebene, Gerade, Abstand

Die Ebene E enthält die Punkte A(−2 | 1 | 1), B(−1 | 1 | 0) und C(0 | 0 | 0).

Gerade g: X = (2 | −2 | −1) + r · (−1 | 2 | 0); Punkt Q(1 | −2 | 0)

  1. a) Gib eine Gleichung von E in Koordinatenform an: a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
  2. b) Wo schneidet E die x₃-Achse? (x₃-Wert)
  3. c) Schnittpunkt S von g und E?
  4. d) Abstand des Punkts Q von E (2 Dezimalen)?

Lösungen

Aufgabe 1

  1. a) a = 4, b = −1, c = 2, d = 7 (oder ein Vielfaches)
    AB = (0 | 2 | 1), AC = (−1 | −2 | 1) · Normalenvektor n = AB × AC = (4 | −1 | 2) · A einsetzen: d = n · A = 7 · E: 4x₁ − x₂ + 2x₃ = 7
  2. b) 3,5
    x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 7 · x₃ = 3,5
  3. c) x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 4
    g in E einsetzen: 4·(−1 − 1r) + −1·(0 − 1r) + 2·(3 − 1r) = 7 · −5r = 5 ⇒ r = −1 · S(0 | 1 | 4)
  4. d) 0,65
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |10 − 7| / √21 ≈ 0,65

Aufgabe 2

  1. a) a = 1, b = 1, c = 1, d = 0 (oder ein Vielfaches)
    AB = (1 | 0 | −1), AC = (2 | −1 | −1) · Normalenvektor n = AB × AC = (−1 | −1 | −1) → gekürzt (1 | 1 | 1) · A einsetzen: d = n · A = 0 · E: x₁ + x₂ + x₃ = 0
  2. b) 0
    x₁ = x₂ = 0: x₃ = 0 · x₃ = 0
  3. c) x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = −1
    g in E einsetzen: 1·(2 − 1r) + 1·(−2 + 2r) + 1·(−1 + 0r) = 0 · 1r = 1 ⇒ r = 1 · S(1 | 0 | −1)
  4. d) 0,58
    d(Q, E) = |n · Q − d| / |n| = |−1 − 0| / √3 ≈ 0,58